DEMOSTRACIONES CON ENCANTO-Envío rápido

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Prólogo…………………………………………………………..11
Introducción………………………………………………….. 15
Capítulo 1. Un jardín de enteros………………………………………………………….. 21
1.1. Números figurados………………………………………………………..21
1.2. Sumas de cuadrados, cubos y números triangulares…………………………………………………… 26
1.3. Hay infinitos primos………………………………………………………….. 29
1.4. Números de Fibonacci………………………………………………………. 32
1.5. El teorema de Fermat………………………………………………………….. 35
1.6. El teorema de Wilson………………………………………………………….. 35
1.7. Números perfectos……………………………………………………….. 36
1.8. Desafíos……………………………………………………….. 37
Capítulo 2. Números ilustres………………………………………………………….. 39
2.1. La irracionalidad de 2………………………………………………………………….. 40
2.2. La irracionalidad de k cuando k no es un cuadrado perfecto………………………………………….. 41
2.3. La razón áurea……………………………………………………………. 42
2.4. La circunferencia y #………………………………………………………………….. 45
2.5. La irracionalidad de #………………………………………………………………….. 47
2.6. El conde de Buffon y su aguja……………………………………………………………. 48
2.7. El número e como límite…………………………………………………………… 49
2.8. Una serie infinita para e…………………………………………………………………. 52
2.9. La irracionalidad de e…………………………………………………………………. 52
2.10. El problema de Steiner sobre el número e…………………………………………………………………. 53
2.11. La constante de Euler-Mascheroni………………………………………………….. 53
2.12. Exponentes racionales e irracionales………………………………………………….. 55
2.13. Desafíos………………………………………………………. 56
Capítulo 3. Puntos en el plano…………………………………………………………… 59
3.1. La fórmula de Pick…………………………………………………………….. 59
3.2. Circunferencias y sumas de dos cuadrados…………………………………………………….. 61
3.3. El teorema de Sylvester-Gallai………………………………………………………….. 63
3.4. Partiendo en dos un conjunto de cien mil puntos…………………………………………………………. 64
3.5. Palomas y palomares……………………………………………………. 65
3.6. Asignando números a los puntos del plano…………………………………………………………… 66
3.7. Desafíos………………………………………………… 68
Capítulo 4. El patio de recreo de los polígonos…………………………………………………….. 69
4.1. Combinatoria poligonal……………………………………………………… 69
4. 2. Dibujar un polígono conocidas las longitudes de sus lados………………………………………………………. 72
4.3. Los teoremas de Maekawa y Kawasaki……………………………………………………… 73
4.4. Cuadratura de polígonos……………………………………………………… 75
4.5. Las estrellas del patio de los polígonos……………………………………………………… 76
4.6. Los vigilantes de la galería de arte………………………………………………………………. 78
4.7. Triangulaciones de polígonos convexos………………………………………………………. 80
4.8. Cicloides, ciclógonos y cicloides poligonales……………………………………………………. 83
4.9. Desafíos………………………………………………………… 85
Capítulo 5. Un tesoro de teoremas sobre triángulos………………………………………………………. 87
5.1. El teorema de Pitágoras……………………………………………………….. 87
5.2. Parentescos pitagóricos…………………………………………………….. 88
5.3. El radio de la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo ……………………………………….. 91
5.4. La generalización de Pappus del teorema de Pitágoras……………………………………………………….. 92
5.5. La circunferencia inscrita y la fórmula de Herón……………………………………………………………. 93
5.6. La circunferencia circunscrita y la desigualdad triangular de Euler …………………………………………. 95
5.7. El triángulo órtico……………………………………………………………. 96
5.8. La desigualdad de Erdo#s-Mordell…………………………………………………………. 97
5.9. El teorema de Steiner-Lehmus…………………………………………………………. 99
5.10. Las medianas de un triángulo……………………………………………………… 100
5.11. ¿Son obtusángulos la mayoría de los triángulos?…………………………………………………… 102
5.12. Desafíos………………………………………………………. 103
Capítulo 6. El embrujo del triángulo equilátero…………………………………………………….. 105
6.1. Teoremas de estilo pitagórico…………………………………………………….. 105
6.2. El punto de Fermat de un triángulo……………………………………………………… 108
6.3. El teorema de Viviani………………………………………………………… 109
6.4. Una teselación triangular del plano y la desigualdad de Weitzenböck………………………….. 110
6.5. El teorema de Napoleón…………………………………………………….. 112
6.6. El milagro de Morley………………………………………………………… 113
6.7. El teorema de Van Schooten……………………………………………………… 115
6.8. El triángulo equilátero y la razón áurea…………………………………………………………… 116
6.9. Desafíos………………………………………………… 117
Capítulo 7. El rincón de los cuadriláteros………………………………………………… 119
7.1. Puntos medios en cuadriláteros………………………………………………… 119
7. 2. Cuadriláteros cíclicos……………………………………………………….. 121
7.3. Igualdades y desigualdades en un cuadrilátero…………………………………………………. 123
7.4. Cuadriláteros tangenciales y bicéntricos…………………………………………………… 126
7.5. Los teoremas de Anne y Newton……………………………………………………….. 127
7.6. Pitágoras con un paralelogramo y triángulos equiláteros ………………………………………………….. 129
7.7. Desafíos……………………………………………….. 130
Capítulo 8. Cuadrados por todas partes………………………………………………………….. 133
8.1. Teoremas con un cuadrado……………………………………………………… 133
8.2. Teoremas con dos cuadrados…………………………………………………….. 135
8.3. Teoremas con tres cuadrados…………………………………………………….. 140
8.4. Con cuatro y más cuadrados…………………………………………………….. 142
8.5. Cuadrados y matemáticas recreativas…………………………………………………… 144
8.6. Desafíos………………………………………………… 146
Capítulo 9. Curvas a la vista ………………………………………………………………….. 149 Cuadraturas de lúnulas ………………………………………………………………….. 149
9.2. La asombrosa espiral de Arquímedes …………………………………………………………………. 155
9.3. La cuadratriz de Hipias……………………………………………………….. 157
9.4. El cuchillo de zapatero y la bodega de sal…………………………………………………………….. 158
9.5. Las cónicas según Quetelet y Dandelin …………………………………………………………………. 160
9.6. Triángulos de Arquímedes…………………………………………………161
9.7. Hélices……………………………………………………… 164
9.8. Desafíos…………………………………………………….. 165
Capítulo 10. Aventuras con embaldosados y coloreados………………………………………………….. 169
10.1. Embaldosados y teselaciones del plano…………………………………………………………. 170
10.2. Embaldosados con triángulos y cuadriláteros………………………………………………. 174
10.3. Infinitas demostraciones del teorema de Pitágoras……………………………………………………. 177
10.4. La rana saltarina……………………………………………………… 179
10.5. Los siete frisos………………………………………………………….. 181
10.6. Demostraciones coloridas …………………………………………………………………………… 184
10.7. El dodecaedro y los caminos hamiltonianos…………………………………………………. 192
10.8. Desafíos……………………………………………………………………………………………………… 194
Capítulo 11. Geometría en tres dimensiones……………………………………………… 197
11.1. El teorema de Pitágoras en tres dimensiones………………………………………………. 198
11.2. Particiones del espacio con planos……………………………………………………………… 199
11.3. Triángulos correspondientes en tres rectas…………………………………………………. 201
11.4. Un cono que triseca ángulos ……………………………………………………………………… 201
11.5. La intersección de tres superficies esféricas………………………………………………… 202
11.6. La cuarta circunferencia…………………………………………………………………………….. 204
11.7. El área del triángulo esférico……………………………………………………………………… 205
11.8. La fórmula de Euler para poliedros…………………………………………………………….. 206
11.9. Caras y vértices de poliedros convexos……………………………………………………….. 207
11.10. ¿Por qué se repiten las formas de algunas caras de los poliedros?………………… 209
11.11. Euler y Descartes à la Pólya……………………………………………………………………….. 210
11.12. Cuadriculando cuadrados y cubiculando cubos…………………………………………… 211
11.13. Desafíos……………………………………………………………………………………………………. 213
Capítulo 12. El patio de recreo de los polígonos………………………………………… 215
12.1. Conjuntos numerables y no numerables…………………………………………………….. 215
12.2. El teorema de Cantor-Schröder-Bernstein…………………………………………………… 217
12.3. La desigualdad de Cauchy-Schwarz……………………………………………………………. 218
12.4. La desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica………………….. 220
12.5. Dos perlas del origami……………………………………………………………………………….. 221
12.6. ¿Cómo dibujar una línea recta?…………………………………………………………………… 223
12.7. Algunas joyas de las ecuaciones funcionales………………………………………………. 225
12.8. Desigualdades funcionales………………………………………………………………………… 230
12.9. La serie de Euler para #2/6…………………………………………………………………………. 233
12.10. El producto de Wallis…………………………………………………………………………………. 235
12.11. La aproximación de Stirling para n!……………………………………………………………. 236
12.12. Desafíos……………………………………………………………………………………………………. 238
Soluciones a los desafíos………………………………………………………………………………. 241
Capítulo 1…………………………………………………………………………………………………………… 241
Capítulo 2…………………………………………………………………………………………………………… 243
Capítulo 3…………………………………………………………………………………………………………… 247
Capítulo 4…………………………………………………………………………………………………………… 249
Capítulo 5…………………………………………………………………………………………………………… 251
Capítulo 6…………………………………………………………………………………………………………… 255
Capítulo 7…………………………………………………………………………………………………………… 258
Capítulo 8…………………………………………………………………………………………………………… 261
Capítulo 9…………………………………………………………………………………………………………… 262
Capítulo 10…………………………………………………………………………………………………………. 265
Capítulo 11………………………………………………………………………………………………………….. 269
Capítulo 12…………………………………………………………………………………………………………. 270
Referencias bibliográficas…………………………………………………………………………….. 273
Índice por palabras………………………………………………………………………………………… 283
Sobre los autores…………………………………………………………………………………………….. 289